在计算流体力学领域,求解守恒律的高精度格式以其高精度、高分辨率等特点逐渐代替传统的低阶格式而成为主流。近二十年发展起来的间断Galerkin有限元(DG)格式和加权本质无振荡(WENO)格式等高精度格式在相对比较粗的网格中就能精确高效地捕捉到精确解的细微结构,从而给出高分辨率的数值结果。这使得高精度格式在进行大规模数值模拟时能极大地节省计算时间。而发展高效,稳定的高精度数值格式也一直是计算数学研究领域的热点。在本文中,我们系统地研究了求解双曲守恒律以及相关方程的高精度格式:首先,我们进一步发展求解高维Hamilton-Jacobi(HJ)方程的局部保结构(LSP)Lax-Wenfroff(LW)DG格式;其次,我们分析了DG格式以及局部DG(LDG)格式的超收敛性质;最后,我们设计了一类高精度半拉格朗日(SL)格式,并将其应用到等离子物理以及全球大气模型中。在第一部分中,我们研究求解HJ方程的高精度格式。HJ方程在最优控制,图像处理等领域有着广泛的应用,这也使得发展高效的高精度数值格式成为必要。我们提出一个LSP-DG格式并耦合紧致的、单步单层的Lax-Wenfroff时间离散方法求解高维HJ方程的粘性解。一方面,我们将精确解的先验信息引入到DG格式的构造中,这使得LSP-DG格式比通常的DG格式的自由度更少,计算效率也更高。另一方面,耦合单步单层LW时间离散方法使得我们的LW-LSP-DG格式比Runge-KuttaDG(RKDG)格式在求解高维HJ方程时更紧致,更高效,需要的存储量也更少。我们使用稳健的WENO限制器技术来保证LW-LSP-DG格式能够精确收敛到HJ方程的粘性解。数值试验结果验证了 LW-LSP-DG格式能高效稳定地求解高维HJ方程。在第二部分中,我们通过经典的傅里叶分析,比较系统地研究DG,LDG格式的超收敛性质。数值格式的超收敛分析作为误差分析的核心组成部分一直都备受重视。我们通过对增长矩阵特征结构的观察与分析,将DG,LDG格式的误差分解成三部分。对于DG,LDG格式,相比较于通常的k+1阶数值误差,我们发现和时间相关的特征值误差分别是2k+ 1阶和2k +2阶的,从而进一步说明了DG,LDG格式的数值误差在很长一段时间内不显著增长。这也显示出DG,LDG格式在长时间数值模拟时的巨大优势。利用半离散DG格式的分析结果,我们给出全离散RKDG格式的超收敛分析。此外,对求解双曲守恒律提出一个新的LWDG格式。相比较经典的LWDG格式,新LWDG格式具有超收敛性质,例如数值解在经过后处理后,收敛精度能从通常的k+1阶提升到超收敛的2k + 1阶。我们同样通过傅里叶分析比较了新LWDG格式与经典LWDG格式的差异,并研究这些差异对格式超收敛性质的影响。在第三部分中,我们对Vlasov-Poisson(VP)方程以及球面传输方程提出一类新的SL格式。求解VP方程最大的困难就是极其巨大的计算量,即著名的”维数诅咒”(高维的物理空间以及高维的速度空间)。相比较欧拉型格式,SL格式能够选取任意大的时间步长而不受线性稳定性条件的限制。这个显著的性质使得SL格式在求解传输方程时效率很高。在论文中,我们提出一个基于Strang分裂的SL高精度混合格式来求解VP方程。我们在空间传输方向使用SLDG格式(或者是局部时间迭代的RKDG格式);在速度方向的加速/减速,我们采用SL有限差分(FD)WENO格式。SL混合格式充分利用了上述算法的优点,使得我们能在较粗的空间网格以及较大的时间步长下得到令人满意的数值结果。球面传输问题在全球大尺度大气模拟中扮演着极其重要的角色。在实际应用中,往往需要同时求解数百个传输方程(multi-tracer transport),因此如何高效的求解球面传输方程一直是学术研究热点。对此,我们提出一个基于立方球(cubed-sphere)网格的SLDG格式。相比经典的极坐标网格,立方球网格有许多优点,比如它在南北极没有奇性,并且非常适合基于单元的数值格式。数值格式通过耦合立方球网格以及SLDG方法来吸收两者的优点。我们用经典的数值算例测试了算法的效果。通过与当前流行的数值格式比较,我们发现基于立方球网格的SLDG格式在求解球面传输问题时计算效率很高。

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